1. 자연수에 대해서 다들 한 번쯤은 들어봤을 법한 질문이라고 생각한다. 그리고 이런 질문을 받았을 때 대부분은 '그걸 왜 설명해야 하지? 당연한 거잖아?' 라는 생각을 한다. 하지만 수학은 왜 1 + 1 = 2 가 나오는지 명확하게 규정하고 있으며 이것이 수학의 근본에 대한 첫걸음이 될 것이다. 이것을 설명하기 위해서 우선 공리에 대해서 알아야 하는데 공리는 아래와 같이 정의하며 정의라는 단어와 의미가 헷갈리지 않게 같이 설명하겠다. 공리: 하나의 이론에서 증명없이 바르다고 하는 명제 정의: 어떤 용어나 기호에 대한 의미를 명확히 한 것 우리는 이것을 "약속"이라고 한다. 어떤 명제에 대해서 증명없이 옳다고 가정하는 규칙인 것이다. 그리고 수학에서 이루어지는 모든 정의와 정리 및 증명은 이 공리 위에서..

원래 이 글을 쓰기 전에 선형대수학을 전부 정주행하려고 했었다. 근데 왜 갑자기 뜬금없이 기초수학이냐? 그건 아래의 세 가지 이유 때문이다. 첫째, 진도를 나갈수록 내용이 어려워지면서 계속 봤던 영상을 다시 봐야하는 상황이 나온다. 분명히 이미 봤던 내용인데 뭔가 이해가 안되서 다시 봐야하는데 봤던 영상을 계속 반복해서 보자니까 재미도 없고 집중도 잘 안되더라... 둘째, 그래서 다른 쉬운 내용의 공부로 힐링을 좀 하려고 한다. 마침 강의에서 집합론에 대한 언급도 했겠다, 당분간 기초수학이랑 집합론을 파면서 힐링 좀 하고 다시 선형대수학 진도를 나가려고 한다. 셋째, 슬슬 수학이 재미있어 지려고 해서 기초부터 튼튼하게 다시 공부하고 싶어졌다. 'ㅁㅊ놈인가? 이게 재미있다고?' 싶을 수 있는데 유튜브에서 ..

1. 선형사상 사상이란 어떤 대수구조를 대상으로 하는 함수를 의미하며 선형사상이란 선형대수를 대상으로 하는 함수를 의미한다. 여기서 말하는 선형대수는 이전에 다룬 벡터공간을 의미한다. 수학적인 정의는 아래와 같다. 벡터공간 V, W에 대해 V의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상 L(v + w) = L(v) + L(w) (u, v ∈ V) - 가산성 L(kv) = kL(v) (k ∈ F, v ∈ V) - 동차성 1) 선형사상 관련 용어 정리 처음보는 용어들이 우후죽순으로 튀어나오는데 각 단어의 한자의 뜻을 알면 외우기 좀 더 쉬워진다. L: V(정의역) → W(공역) 가 선형사상일 때, 핵: ker L = L^(-1)(0v) = { v ∈ V | L(v) = 0v } (0v는 영벡터, ker는..

1. 대수구조 대수학에서 대수란 "수"를 "대신"한다는 뜻이다. 여기서 대수구조란 수를 대신하는 것들의 집합에 부여된 연산이 공리로 엮인 구조로 받아들이면 된다. 앞서 배웠던 행렬과 벡터도 사실 수가 아니라 수를 대신하는 다른 것들 중 하나로써 연산을 했던 것을 생각해보면 쉽게 받아들일 수 있을 것이다. 선형대수학의 대수도 마찬가지인데 선형대수학을 풀어서 설명해보면 수를 대신하는 것들 중 직선의 특성을 가지는 것들로 이루어진 집합의 원소들을 대상을 탐구하는 학문이라는 뜻이다. 보통 수학이라고 하는 것은 "수" 라는 대상을 탐구하는 학문이라고 이야기하고는 하지만 사실 수학은 그 탐구의 범위를 절대 "수" 만으로 한정짓지 않는다. "수" 라고 하는 것도 우리가 정의한 약속에 불과할 뿐이며 사실 수가 아니라 ..

1. 용어 정리 벡터: n차원의 공간에서 방향과 크기를 표현하는 도구 평면 벡터: 2차원 공간에서의 벡터 공간 벡터: 3차원 공간에서의 벡터 스칼라(Scalar) 혹은 노름(Norm): 벡터의 크기 정규화(Normalization): 벡터의 크기를 1로 맞춰주는 것 법선벡터(Normal Vector): 어떤 평면의 수직인 벡터 영벡터(Zero Vector): 크기가 0인 벡터 (원래 다른 방법으로 영벡터로 표기하지만 표기상의 문제로 지금부터 쓰는 모든 게시글에서는 0v로 표기함) 위치벡터(Position Vector): 원점으로부터 시작하는 벡터 단위벡터(Unit Vector): 크기가 1인 벡터. 벡터의 각 원소에 스칼라를 나눠서 구한다. 2. 선형 결합 위키 백과에 따르면 "각 항에 상수를 곱하고 결..

1. 소행렬과 행렬식 1) 소행렬(Submatrix): 특정 행과 열을 제거했을 때, 만들어지는 행렬 행렬식을 알기 위해서는 소행렬이 뭔지 알아야 한다. 소행렬은 어떤 행렬에서 선택된 행과 열을 제외하고 만들어지는 행렬을 말한다. 예를 들어 행렬 A의 소행렬 M(i, j)은 아래 이미지와 같이 나오는 것이다. 참고로 여기서 얻는 행렬식을 소행렬식이라고 부른다. 2) 행렬식(Determinant): 행렬을 하나의 값에 대응시키는 함수 행렬식은 어떤 정사각행렬을 대표하는 값을 구하기 위한 하나의 함수라고 생각하면 된다. 표기는 det(A) = |A| 와 같이 표기하며 2x2까지는 쉽게 |A|의 값을 구할 수 있지만 3x3부터 번거로워진다. 0x0: 행렬의 길이가 0인 경우 즉, 행렬의 성분이 없는 이런 경우..