이상엽 선형대수학 정주행 4회차 - 대수구조와 벡터

1. 대수구조

대수학에서 대수란 "수"를 "대신"한다는 뜻이다. 여기서 대수구조란 수를 대신하는 것들의 집합에 부여된 연산이 공리로 엮인 구조로 받아들이면 된다. 앞서 배웠던 행렬과 벡터도 사실 수가 아니라 수를 대신하는 다른 것들 중 하나로써 연산을 했던 것을 생각해보면 쉽게 받아들일 수 있을 것이다. 선형대수학의 대수도 마찬가지인데 선형대수학을 풀어서 설명해보면 수를 대신하는 것들 중 직선의 특성을 가지는 것들로 이루어진 집합의 원소들을 대상을 탐구하는 학문이라는 뜻이다.

 

보통 수학이라고 하는 것은 "수" 라는 대상을 탐구하는 학문이라고 이야기하고는 하지만 사실 수학은 그 탐구의 범위를 절대 "수" 만으로 한정짓지 않는다. "수" 라고 하는 것도 우리가 정의한 약속에 불과할 뿐이며 사실 수가 아니라 우리가 생각할 수 있는 모든 것들을 이용해서 어떤 하나의 집합을 만들고 그 집합에 맞는 적절하고 그럴듯한 대수구조를 부여하기만 하면 대수학의 탐구 대상인 대수구조가 되는 것이다. 우리가 지금부터 다룰 벡터공간은 대수학의 기초인 선형대수학에서 다루는 대수구조로 여기서 다루는 내용이 곧 대수학의 뼈대가 된다. 이러한 대수학의 원리는 다른 공학 과목 즉, 내가 희망하는 게임 분야에서도 아주 활발하게 쓰이게 된다.

 

수학에서 대수구조에 대해 연구하는 이유는 어떤 특정 학문에서 다루던 대수구조와 다른 학문에서 다루던 대수구조가 같은 대수구조라는 것이 밝혀졌을 때, 어떤 학문에서 연구한 대수구조의 정리와 증명들이 다른 학문에서 다루는 대수구조에 그대로 적용시킬 수 있기 때문이다. 이건 대수구조를 연구하는 수학에서 엄청난 것으로 대수구조만 같다는 것만 증명하면 그 이후부터는 다른 학문에서 연구한 대수구조에 대해 같은 것을 또 다시 증명할 필요가 없어지기 때문이다.

 

서론이 꽤 길었는데 이번 강의에서는 벡터의 대수구조에 대해서 다뤘는데 일단은 전체적인 대수구조의 종류부터 나열하고 그것들에 대해서 알아보자. 강의에서는 아래의 9개의 대수구조를 소개했다. 참고로 특별한 말이 없으면 모두 닫힌 연산으로 이해하면 되며 닫힌 연산이란 피연산자와 연산의 결과가 해당 집합의 원소들로만 구성되어 있다면 닫힌 연산으로 이해하면 된다.

• 반군: 어떤 집합내에서 어떤 연산에 대해 결합법칙이 성립하는 대수구조
• 모노이드: 항등원이 존재하는 반군
• 군: 역원을 구할 수 있는 모노이드
• 아델군(가환군): 교환 법칙이 성립하는 군
• 환: 덧셈에 대해서 아델군을 만족하고 곱셈에 대해서 반군을 만족하며 분배 법칙이 성립하는 대수구조
• 가군: 환에 해당하는 다른 집합의 원소와 곱셈이 가능하며 분배법칙이 성립하는 아델군
• 가환환: 교환 법칙이 성립하는 환
• 나눗셈환: 역원을 구할 수 있는 환
• 체: 가환환과 나눗셈환이 모두 성립하는 대수구조

사실 위에서 나열한 것들에 대한 것을 처음 접하면 한 번에 이해하기에 어려울 수 있다. 그럴 때에는 아래의 유튜브 링크가 도움이 될 것이다. 강의에서 위에서 나열한 것들에 대한 예시를 설명해주는데 위의 내용을 이해하는데 큰 도움이 될 것이다. (00:35:00부터 보면 된다.)

https://www.youtube.com/watch?v=Q8NkThsTp_g&t=2044s 

 

 

2. 벡터공간

여기서 알아볼 벡터의 대수구조는 덧셈에 대해서 아델군, 곱셈에 대해서 가군의 형태를 띄고 있다. 즉, 이는 아래의 아델군과 가군에 대한 공리를 만족하면 기하적이나 물리적으로 설명이 되지 않더라도 수학적으로 전혀 문제가 되지 않으며 지금까지 우리가 알고 있던 벡터는 단지 물리적인 개념의 벡터일 뿐이라는 것이다.

 

1) (V, +)는 아델군 (u, v, w ∈ V)

1. (u + v) + w = u + (v + w)
2. u + v = v + u
3. u + 0v = u인 0v이 V에 존재 (여기서 0v는 영벡터)
4. u + (-u) = 0v인 -u가 V에 존재 (여기서 0v는 영벡터)

2) (V, +, x)는 F의 가군 (k, m ∈ F) - (F는 체)

1. k ● (m ● u) = (km) ● u
2. F의 곱셈 항등원 1에 대해 1 ● u = u
3. (k + m) ● (u + v) = k ● u + k ● v + m ● u + m ● v

 

다시 정리하지만 위의 공리를 만족하기만 한다면 누가봐도 물리적으로도 어지간한 공학 과목에서도 절대 벡터가 될 수 없음에도 불구하고 수학적으로 벡터가 되며 이를 집합으로 표현할 수 있다. 그리고 여기서 벡터를 위의 공리를 만족하는 모든 원소의 집합이라는 것에 주목하고 아래의 내용을 숙지하고 넘어가자. 다음 내용이 선형생성에 대한 내용인데 이걸 이해하려면 아래의 내용을 알아야 한다.

 

부분벡터공간 - 벡터공간 V에서 정의된 덧셈과 스칼라 배에 대해 그 자체로 벡터공간이 되는 V의 부분 집합

 

말을 조금 더 쉽게 표현하면 어떤 벡터공간이 있다고 했을 때, 그것도 집합이기 때문에 부분 집합을 뽑아낼 수 있다. 바로 여기서 그 부분 집합들의 원소들을 봤더니 위에서 서술한 공리들을 모두 만족한다면 그것을 벡터공간이긴 한데 다른 벡터공간의 부분 집합으로써 부분 벡터공간이라고 부른다는 것이다.

 

1) 선형생성

정의: 벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 S내에 가능한 모든 선형 결합으로 이루어진 V의 부분벡터공간을 S의 (선형)생성 span(S) 이라고 한다.

F는 체, S는 어떤 벡터의 부분 집합

기하적으로 이 공식에 접근해보자. 예시로 2개의 벡터 v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)을 가져오겠다. 이제 x, y축으로 이루어진 평면 좌표를 떠올려보자. 어떤 곳을 좌표로 찍었을 때, v1과 v2를 이용해서 해당 좌표를 표현할 수 있다고 생각하지 않는가? 당신이 찍은 곳이 (a, b)라면 a(v1) + b(v2)로 해당 좌표를 나타낼 수 있으며 그 a, b가 실수이기만 하면 어디든지 나타낼 수 있다는 뜻이다. 여기서는 x, y축으로 이루어진 평면의 공간을 "생성(span)" 했다고 표현한다. 이것이 선형생성이다.

 

다만 여기서 말하는 선형생성(span)이 굳이 기하적인 의미를 가져야 할 필요는 전혀 없다. 전에도 말했지만 수학에서 말하는 벡터는 물리적으로 설명이 되든말든 아무 신경도 안쓴다. 수학은 그저 공리에만 맞으면 벡터가 된다. 다만 다른 공학 과목에서 지금 배우는 내용의 일부를 활용해서 쓸 뿐이다.

 

2) 선형독립

이전에서 배우는 선형생성에서 부분 집합 S에 존재하는 원소들을 대상으로 F에 존재하는 원소로 스칼라 배를 한 후 전부 더했을 때, 그것을 선형생성이라고 했다. 이 때, 전부 더했더니 그 결과가 영벡터가 나오도록 만들 수 있는데 영벡터를 만드는 유일한 경우의 수가 체 F라는 집합의 원소로 뽑힌 k의 값들이 전부 0인 경우 밖에 없다면 그것을 "선형독립" 이라고 한다. 만약 다른 해가 존재할 수 있다면 그것은 "선형종속" 이라고 한다.

S = { V1, V2, V3, ... , Vn }

k1·V1 + k2·V2 + k3·V3 + ... + kn·Vn = 0v 일 때, (0v는 영벡터)

k1 = k2 = k3 = ... kn = 0
외에 위의 식을 만족시키는 해가
없다면 선형독립, 그렇지 않다면 선형종속

 

3) 벡터공간의 종류 3가지

노름공간: 노름이 부여된 K - 벡터공간 (V, ||●||)
노름: ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ K에 대해 아래의 세 조건을 만족시키는 함수 ||●||: V → [0, ∞)이다. (K ∈ {R, C})
1. ||kv|| = |k| ● ||v||
2. ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
3. ||v|| = 0 → v = 0v (0v는 영벡터)

노름공간은 노름이라는 것으로 표현되는 벡터공간인데 여기서 말하는 노름은 이전 챕터에서 봤던 것과 다르다고 봐야 한다. 이전 챕터에서 본 노름은 물리적 벡터에서 그 크기를 의미하는 것이었지만 여기서의 노름은 단순히 위의 설명대로 그저 어떤 연산에 의한 함수일 뿐이며 기하적인 부분은 전혀 따지지 않기 때문이다. 다만 물리적 벡터의 노름도 위의 설명에 해당이 되기는 한다. 이 부분은 그냥 정의이기 때문에 그냥 "그렇구나." 하고 넘어가면 된다.

 

내적공간: 내적이 부여된 K - 벡터공간 (V, 《○, ○》)
내적: ∀u, v, w ∈ V, ∀k ∈ K에 대해 아래의 세 조건을 만족시키는 함수 《○, ○》: V x V→ K이다. (K ∈ {R, C})
1. 《u + v, w》 = 《u + w》, 《v + w》
2. 《ku, v》 = k《v, u》
3. 《u, v》 = 《v, u》 (복소수도 포함)
4. v ≠ 0v → 《v x v》 > 0

물리적 벡터는 서로 다른 벡터끼리 서로 얼마의 힘만큼 영향력을 행사하고 있는지를 나타내는 것이었다. 노름공간에서도 설명했지만 여기는 그런 거 없다. 오로지 수학적으로 정의된 함수일 뿐이며 기하적인 의미에 아무런 신경도 쓰지 않는다. 내적 연산 자체는 이전 챕터에서 배웠던대로 하면 된다. 또한 강의에 따르면 내적공간이 노름공간의 상위 호환이라고 말한다. 왜냐하면 내적에서 노름을 구하는 경우는 자기 자신을 내적한 이후에 제곱근을 구하면 노름이 나오지만 노름에서 내적을 구하려면 한 가지 조건이 더 필요하기 때문이다. 이 부분도 정의이기 때문에 "그렇구나" 하고 넘어가면 된다.

 

유클리드공간: R^n으로 표현하며 실수집합 R의 n번 곱집합이며, n차원 실수 벡터공간으로도 정의

우리가 익히 알고 있는 좌표 공간이 바로 유클리드공간이다. 너무나 자명해서 더 설명할 것이 없고 "그렇구나" 하면 된다.

 

 

3. 기저와 차원

차원에 대해서 설명해보라고 하면 어떻게 하겠는가? 아마 대부분 물리적인 의미의 차원을 떠올릴 것이다. 그러나 그렇게 차원을 설명하기에는 3, 4차원까지는 설명이 가능할지 몰라도 그보다 훨씬 큰 10차원, 11차원의 설명은 일반인이 쉽게 할 수 없을 것이다. 수학에서 벡터는 차원을 물리적인 것을 무시하고 "기저"라는 것을 이용해서 설명하고 있으며 이렇게 정의하면 차원을 7글자로 정의할 수 있다.

• 기저: 벡터공간 V의 부분집합 B가 선형독립이고 V를 생성할 때, B를 V의 기저라고 한다.
• 차원: 기저의 원소 갯수 (B의 원소 갯수를 V의 차원 dim(V)로 표현)

여기까지 이해를 했다면 조건만 된다면 부분집합에서 기저를 몇 개든 뽑아낼 수 있다는 사실을 알 수 있는데 그 많은 기저들 중에서 자주 쓰이는 몇몇 주요 기저가 존재한다.

정규기저: 아래의 조건을 만족하는 노름공간 V의 기저 B (B의 원소 벡터의 크기가 1인 기저)
∀b ∈ B, ||b|| = 1

직교기저: 아래의 조건을 만족하는 내적공간 V의 기저 B (좌표축을 떠올리면 쉽다.)
∀b1, b2 ∈ B, 《b1, b2》 = 0

정규직교기저: 정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저 (표준 기저)
(1, 0, 0, ... , 0), (0, 1, 0, ... , 0), (0, 0, 1, ... , 0), ... (0, 0, 0, ... , 1)