이상엽 선형대수학 정주행 5회차 - 선형사상

1. 선형사상

사상이란 어떤 대수구조를 대상으로 하는 함수를 의미하며 선형사상이란 선형대수를 대상으로 하는 함수를 의미한다. 여기서 말하는 선형대수는 이전에 다룬 벡터공간을 의미한다. 수학적인 정의는 아래와 같다.

벡터공간 V, W에 대해 V의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상

L(v + w) = L(v) + L(w)  (u, v ∈ V) - 가산성
L(kv) = kL(v)                (k ∈ F, v ∈ V) - 동차성

 

1) 선형사상 관련 용어 정리

처음보는 용어들이 우후죽순으로 튀어나오는데 각 단어의 한자의 뜻을 알면 외우기 좀 더 쉬워진다.

L: V(정의역) → W(공역) 가 선형사상일 때,

• 핵: ker L = L^(-1)(0v) = { v ∈ V | L(v) = 0v } (0v는 영벡터, ker는 kernel)
• 상: im L = L(V) = { L(V) ∈ W | v ∈ V } (im은 image - 치역)
• 자기사상: V = W인 L
• 단사사상: L(u) = L(v) → u = v인 L
• 전사사상: L(V) = W인 L
• 동형사상: 단사사상인 전사사상 (만약 V, W에 대해 L이 동형사상이면 V, W는 같은 대수구조이다.)
• 자기동형사상: 자기사상인 동형사상
• 항등사상: L(v) = v인 L (L = Iv)
• 두 선형사상 L1: V → U, L2: U → W의 합성은 L1 ○ L2: V → W로 쓴다.
• L2 ○ L1 = Iv이면 L2를 L1의 왼쪽 역사상, L1을 L2의 오른쪽 역사상이라고 하며 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 혹은 역사상이라고 한다.

 

2) 선형사상의 종류

아래에 기술한 선형사상의 종류가 왜 선형사상인지 증명하는 것은 너무 길어서 이 글에 적지는 않을 것이다. 다만 이 유튜브 링크를 참고하면 도움이 될 것이다. (00:47:50부터 보면 된다.)

https://www.youtube.com/watch?v=euOckRpDB10&list=PL127T2Zu76FuVMq1UQnZv9SG-GFIdZfLg&index=5 

 

L: V(정의역) → W(공역)가 선형사상이고 v ∈ V일 때,

1. L(v) = 0v → 영사상 (0v는 영벡터)
2. L(v) = v → 항등사상
3. L(v) = kv (단, k는 스칼라)
4. L(v) = Mv (단, M ∈ M(m x n)(F), V = F^n, W = F^m)
5. L(v) = 《v, v0》 (단, v0 ∈ V)

 

 

2. 선형대수학의 기본정리

말은 꽤 거창하게 썼지만 사실 이걸 알기 위해서 먼저 알아야 하는 기호들이 있다. 그럼 아래에 정리하겠다.

• 순서기저: 기저라는 집합의 원소에 순서를 부여한 집합
• Bv = 벡터공간 V의 순서기저, Bw = 벡터공간 W의 순서기저
• v ∈ V, v = k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn 에 대해, [v]Bv = (k1, k2, ... , kn)^T (전치행렬을 의미. 1열짜리 행렬로 만듬)
• [L]Bw^Bv = ([L(v1)]Bw L(v2)Bw ... L(vn)Bw]) = M(m x n) (결과가 행렬이 나오며 이 부분은 원래 이렇게 표기하지 않으나 키보드를 통한 표기상의 편의를 위해 앞으로 이렇게 표기할 예정)

위의 기호들을 모두 이해하지 못하면 다음으로 넘어갈 수 없으니 주의하자. 이해가 되었다면 이제 다음으로 넘어간다.

 

벡터공간 V, W에 대해서 V에서 W로의 선형사상들의 집합을 L(V, W)라고 하고 L(V, W) 위에 합과 스칼라 배를 아래와 같이 정의한다. (v ∈ V, k ∈ F)

1. (L1 + L2)(v) = L1(v) + L2(v)
2. (kL)(v) = L(kv)

이제 F위의 m x n 행렬들의 집합을 M(m x n)(F)라 하고, 두 사상 f, g를 다음과 같이 정의한다.

f : L(V, W) → M(m x n)(F)
  , f(L) = [L]Bw^Bv = M
g: M(m x n) → L(V, W)
  , g(M) = LM[LM(v)]Bw = M[v]Bv

이러면 f, g는 모두 동형사상이며 서로 역사상이다.

 

강의에서 위의 내용을 증명하는 과정이 있지만 너무 길어서 생략하려고 한다. 강의에서 말하길 증명의 과정을 외우려하지 말고 흐름을 이해하라고 이야기했다. 처음에는 좀 어려웠는데 보다보니까 적응이 되었다. 여기까지 따라왔으면 행렬과 선형사상이 동형사상이기 때문에 대수적으로 동등한 것이라는 것을 알 수 있다.

 

 

3. 선형대수학 각종 정리

1) 차원정리

유한차원 벡터공간 V와 선형사상 L: V→W에 대해 다음이 성립한다. 단, 벡터공간에 영벡터밖에 없다면 dim이 0이다.

dim(V) = dim(ker(L)) + dim(im(L))

참고로 이 식에서 나오는 ker(L)과 im(L) 역시 V의 부분집합으로 부분벡터공간이다. 그래서 dim으로 차원을 구하는 연산이 유효한 연산인 것이다. 어떻게 ker(L)과 im(L)이 부분벡터공간인지 알 수 있냐고 물을 수 있는데 ker과 im의 정의에 따라서 벡터공간의 덧셈과 곱셈(스칼라)에 대한 정의가 부합하는지 하나씩 검사해보면 금방 알 수 있다.

 

2) 따름정리(비둘기집 원리)

이 정리 역시 증명은 생략하겠다. 앞에서 다뤘던 차원정리가 강의에서 따름정리의 증명을 하는데 쓰이게 된다.

 

따름정리: 차원이 같은 두 유한 차원 벡터공간 V, W사이에 선형사상 L이 정의되어 있으면 다음이 성립한다.

L은 전사 == L은 단사 == L은 전단사

 

비둘기집 원리: 공집합이 아닌 두 유한집합 A, B의 크기가 서로 같을 때, 함수 f: A → B는 다음이 성립한다.

f는 전사 == f는 단사 == f는 전단사

 

3) 계수정리

행렬 M ∈ M(m x n)(F)에 대해서 "col-rankM = row-rankM" 이 성립한다. 이 때, 행렬 M의 행공간과 열공간의 공통차원을 M의 계수 rankM이라고 한다.

• 열공간: M의 열벡터들로 생성된 공간
• 열계수: 열공간의 차원. col-rankM
• 행공간: M의 행벡터들로 생성된 공간
• 행계수: 행공간의 차원. row-rankM
• 영공간: 연립방정식 MX = 0의 해공간
• nullityM: M의 영공간의 차원

 

4) Rank-Nullity 정리

행렬 M ∈ M(m x n)(F)에 대해서 "n = rankM + nullityM" 이 성립한다. 여기서 차원정리와 비교했을 때, (n과 dim(V), rankM과 dim(imL), nullityM과 dim(ker(L)))으로 대응되는 것을 알 수 있다. 즉, 이 정리와 차원정리가 다를 것이 없다.