이상엽 기초수학 정주행 3회차 - 함수란 무엇인가?

1. 18세기의 함수

이 때 쯤의 함수의 개념은 2개의 변수의 관계로 설명했다. 생각해보면 우리가 지금까지 봐온 함수들은 x, y의 관계를 표현하지 않았는가? 예를 들면 y = ax + b(a, b는 상수)와 같은 형태로 말이다. 그리고 만약 y라는 변수가 없고 ax + b = 0과 같은 수식이 있으면 우리는 이것을 방정식이라고 불렀다. 다만 변수의 뜻이 얼마든지 다른 값으로 변할 수 있는 수라는 것과 다르게 방정식의 x는 값이 고정되어 있어서 미지수로 더 많이 불린다. 물론 넓은 의미에서 봤을 때, 미지수도 변수에 포함될 수 있지만 어쨋든 진정한 변수가 되는 것은 2개부터 나온다는 것이다.

 

함수라는 개념이 부각되기 시작한 것은 해석기하학이 발전하면서인데 도형을 좌표 평면 위에 그렸더니 x, y의 관계로 표현이 되더라는 것을 발견한 것이다. 하지만 이 때까지도 함수라는 말이 직접적으로 등장을 하지는 않았다. 함수라는 말이 직접 등장한 것은 이의 다음 세대에서 함수를 "변수와 상수로 결합된 양"으로 정의를 하면서 처음 등장하게 되었다. 이후 18세기까지 있었던 함수의 정의에 대한 내용을 오일러가 함수를 "변수와 상수로 구성된 해석적 표현"으로 정의를 하면서 종결시킨다. 여기서 오일러가 말한 해석적이라는 것은 "다항식으로 표현할 수 있는 것"을 의미하며 오일러는 그 때 당시에 존재했던 아래에 있는 종류의 함수들을 다항식으로 표현할 수 있다고 믿었다.

• 다함함수 (y = ax^2 + bx + c)
• 유리함수 (y = 1 / x)
• 무리함수 (y = √x)
• 지수함수 (y = n^x)
• 로그함수 (y = log x)
• 삼각함수 (y = sin x)

실제로 위에 기술된 함수들 중 sin x, cos x등을 포함한 대부분의 함수를 아래와 같이 다항함수로 표현할 수 있다는 것을 밝혀냈다. 그 유명한 공식인 세상에서 가장 아름다운 공식이라는 "e^iπ + 1 = 0" 이라는 공식도 여기서 나온 것이다.

출처: 이상엽 선생님 강의자료

 

 

2. 19세기의 함수

오일러 시대까지만 해도 모든 종류의 함수는 다항함수의 형태로 나타낼 수 있다는 믿음을 가지고 있었고 이것을 기준으로 연구를 진행했다. 그리고 이것이 깨진 게 19세기 쯤이었다. 여기서 모든 함수가 가능한 것이 아니고 특정 조건을 갖춘 함수들에 한해서만 가능하다는 것을 수학자들이 연구를 통해 깨닫게 된 것이다. 이후에 푸리에라는 사람이 다른 함수들을 다항함수가 아니라 삼각함수로 만드는 시도를 했는데 놀랍게도 다항함수보다 그 조건이 느슨했다. 즉, 다른 함수를 삼각함수로 만드는 것이 다항함수로 만드는 것보다 더 포괄적이었다는 것이다.

 

이를 통해 수학자들 사이에서 함수의 정의를 바꿔야 하는 것이 아니냐는 이야기가 나왔고 어떤 함수를 다른 함수의 형태로 변화시키는 것에 대한 내용을 정의에서 삭제시켜야 한다는 이야기가 나오게 되었다. 이후에 코시라는 사람이 자신의 저서에 함수를 "독립변수의 값에 따라 종속변수의 값이 정해지는 관계"로 표현한다. 여기서 독립변수가 우리가 아는 x이고 종속변수는 y를 의미한다. 즉, 함수를 어떤 식으로 표현하는 것이 아니라 그냥 어떤 관계를 나타내는 것으로 이야기한 것이다. 

 

그럼에도 함수를 식으로 표현하고자 하는 무리가 있었으나 코시가 정의한 함수에 쐐기를 박은 사람이 바로 디리클레라는 사람이다. 이 사람은 디리클레 함수라는 것을 만들어서 기존에 존재했던 종류의 함수들로 절대 표현할 수 없는 함수를 새로 만들어낸 것이다. 아래에 있는 이 함수는 좌표평면으로 나타낼 수가 없다. 이렇게 함수는 식이 중요한 것이 아니라 관계가 중요한 것이라는 것을 밝혀냈다.

디리클레 함수

 

이후에 칸토어의 집합론을 통해서 함수가 이렇게 정의되었고 이것이 우리가 지금 배우고 있는 함수의 정의이다.

"공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 X의 각 원소에 Y의 각 원소가 하나씩만 대응될 때, 이 대응을 함수라 한다."

 

 

3. 현대의 함수

지금까지 배운 함수는 우리가 학창 시절에 배웠던 함수로 1개의 입력값에 따라 1개의 결과값이 나오는 구조를 가지고 있었다. 왜 일부 정의역에 대해서 결과값의 수를 무조건 1개로 고정시켜 놓았을까? 우선 결과가 정의되지 않는 경우가 존재할 때, 왜 그것을 함수로 보지 않는지 알아보자. 어떤 집합에 대해서 함수를 정의한다는 것은 대다수가 그 집합을 연구하는 것에 의의가 있다. 그런 의미에서 함수의 결과가 정의되지 않는 경우가 존재하는 것은 이 의의에 맞지 않는다고 하며 아무튼 그렇게 약속을 했다고 한다... (솔직히 뭔 소린지 이해는 안되는데 아무튼 그렇다고 한다.)

 

그렇다면 x값에 대한 y값이 여러 개가 나오는 경우는 왜 함수로 보지 않는 것일까? 사실 오일러 시대부터 함수에 대해서 정의를 해왔는데 그 때 당시에 있었던 해석함수, 삼각함수 등... 많은 함수들이 전부 어떤 정의역에 따라서 결과가 1개가 나오는 경우만 다뤘었기 때문이다. 그리고 그 이후로도 그것이 계속 이어져 내려온 것이다. 즉, 관습에 의한 것이라는 거다. 물론 "까짓거 결과가 안나오는 경우랑 여러 개 나오는 경우도 그냥 정의하면 되는 거잖아? 못할 거 있나?" 라고 하면 할 말이 없다... 라고 이상엽 선생님이 말씀하셨다.

 

물론 이런 함수의 개념의 확장이 없던 것은 아니다. 아래를 보자.

• 다변수함수: 독립변수의 수가 둘 이상인 함수 (ex: f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + 1)
• 다가함수: 공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 X의 원소에 Y의 원소가 하나 이상 대응되는 함수 (ex: f(x) = x^2의 역함수)

 

현대에 들어와서 수학은 정말 다양한 분야로 나뉘게 되었다. 집합론, 위상수학, 선형대수학 등등... 이런 학문들을 가지고 우리는 서로 수학적인 구조 즉, 공리계가 다르다고 이야기한다. 각자의 학문마다 자신만의 공리계를 통해서 함수를 정의하고 그 체계 위에서 동작하는 것이다. 그런데 만약 어떤 함수를 정의했더니 그 결과에 의해서 공리가 깨진다면 어떻게 될까? 마치 전 단원에서 다뤘던 유클리드 기하학의 5번째 공준처럼 말이다. 이런 일이 일어나면 더 이상 해당 학문에서 이야기를 이어나갈 수 없게 된다. 바로 이런 문제로 함수를 정의할 때, 해당 학문에서 정의한 대수구조의 공리를 깨지 않게끔 정의한 함수를 사상이라고 한다. 다시 말해서 어떤 대수구조를 대상으로 만든 함수를 사상이라고 하며 이것이 사상의 정의이다.

 

 

4. 범주론

수학적 구조와 그들 간의 관계를 범주라는 추상적인 개념으로써 다루는 수학기초론

• 범주의 두 요소 (집합이랑 다름!)
  1. 대상의 모임 ob(C)
  2. 임의의 두 대상 X, Y ∈ ob(C)에 대해 X를 정의역, Y를 공역으로 하는 사상 f: X → Y의 모임 hom(X, Y)
• 두 범주 사이에서 정의되는 사상을 함자(functor)라고 부른다.

 

사실 이것만으로는 이해가 되지 않을 것이다. 예시를 잠깐 들어보자면 수학 중에 위상수학이라는 분야가 있다. 위상수학은 위상공간을 다루는 학문인데 사실 위상공간이라고 하는 것은 다양한 종류를 만들어낼 수 있으며 이는 위상공간을 대상으로 하는 사상 역시 마찬가지이다. 범주론의 범주는 이렇게 모인 다양한 종류의 위상공간의 모임을 대상의 모임이라고 하며 위상공간을 대상으로 했던 사상들의 모임을 사상의 모임이라고 한다.

 

즉, 쉽게 말하면 수학에서 하나의 학문 분야 자체를 하나의 범주라고 부르며 집합보다 더 광활한 범위를 다루고 있다. 또한 범주 자체도 하나의 수학적 대상이기 때문에 범주간의 함수 역시 만들어낼 수 있고 이것을 함자(functor)라고 부른다. 꽤나 뜬구름잡고 광활하고 애매해 보이지만 엄밀하게 정의해 놓았다. 범주론에서의 함수는 아래의 세 가지를 만족해야 한다.

• 합성이 정의되어야 함. (결합법칙의 성립)
• 항등사상이 정의되어야 함
• 항등원이 제시되어야 함

 

집합론적 함수와의 비교

• 집합론이 집합을 두 대상으로 하고 이로부터 함수가 파생되는 구조를 가지고 있다면, 범주론은 함수가 주 대상이고 이로부터 파생된 대상의 성질을 연구한다.
• 범주의 대상은 집합일 필요가 없으며, 사상도 함수일 필요가 없다. (ex: 1 < 2가 집합론에서는 함수가 아니지만 범주에서는 이것을 함수라고 이야기한다.)