이상엽 기초수학 정주행 5회차 - 미적분이란 무엇인가?

1. 미분

보통 우리가 고등학교 때 배웠던 미분이라고 하면 아래와 같이 그래프에 있는 접선을 생각하기 마련이다. 대부분 여러 개의 직선들로 곡선을 나타내는 예시를 봤을 것인데 여기서 말하는 미분은 "순간 기울기" 라고 한다. 라이프니츠가 미분에 접근한 방식인데 페르마가 이것에 직접적인 영향을 미쳤다. 우리가 보통 곡선 위에 두 점을 찍고 직선을 그리면 일반적으로 곡선의 영역을 침범해서 곡선을 가로지르게 된다. 그런데 페르마는 곡선의 영역을 침범하지 않을 정도의 거리에 점을 찍고 직선을 그려서 접선에 대해 설명했다. 그리고 이것이 미분 방정식의 시초가 된 것이다.

x의 변화량과 y의 변화량

• 페르마는 곡선 위에 인접한 두 점을 지나는 직선의 방정식으로 곡선의 접선 방정식을 유도하였다.
• 라이프니츠는 주어진 함수 y = f(x)와 x의 변화량(무한소)에 대하여, 다음과 같이 미분을 정의하였다.

원래는 극한이 아니라 무한소의 개념이었다. 다만 이미지가 없어서 이것으로 대체했다.

 

기하학적으로 미분에 접근한 라이프니츠와 달리 물리적으로 미분에 접근한 사람이 있었으니 그게 뉴턴이었다. 뉴턴은 사과가 아래로 떨어지는 것을 보면서 사과가 땅에 떨어지는 순간의 속도가 얼마인지 생각했다고 한다. 사실 잘 생각해보면 물체가 떨어질 때, 중력의 영향을 받아서 점점 더 빨라지는 것이 눈에 보이지 않은가? 즉, 떨어지고 나서 시간이 지나면서 매 순간마다 속도가 증가한다는 것이다. 바로 이것을 "순간 속도" 라고 한다.

떨어지는 사과의 순간 속도

 

다만 이런 무한소 미분의 한계는 명확한 한계가 있었다.

• 뉴턴은 운동의 순간성에 대한 질문이 형이상학과 연결되어 있는 것으로 간주하여 정의를 피했다.
• 연속성을 갖는 대상(시간, 실수체계 등)에서 무한소는 존재할 수 없다. 즉, 뉴턴과 라이프니츠의 미분은 증분이 존재하지 않으며, 어떠한 비 역시 될 수 없다.

이게 무슨 의미냐면 실수체계같은 곳에서 0에 아주 가까운 값을 하나 잡았다고 했을 때, 실수체계의 그 특성상 얼마든지 그 값보다 0과 가까운 값을 짚어낼 수 있기 때문에 무한소의 개념으로 dx를 설명하는 것이 무리가 있다는 뜻이다. 이 문제를 해결하기 위해 나온 개념이 바로 극한이라는 개념이다. 독립변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값을 극한이라고 하며 아래에 lim라는 기호가 등장한 것도 바로 극한의 개념이 등장했기 때문이다.

h를 0으로 한없이 가까이 보내서 dx를 표현하고 있다.

 

 

2. 적분

적분의 개념은 옛날 고대 그리스의 실진법이라는 것부터 유래되었다고 한다. 면적을 구하기 어려운 도형이 있으면 그 도형을 여러 개의 다른 도형으로 쪼개서 그 쪼갠 도형들의 넓이의 합을 구하는 방식인 것이다. 이 방법에서 나온 것이 바로 아래의 그림과 같은 구분구적법이다. 영역을 무수히 많이 구분하고 쌓아서 구하는 방법이라고 해서 구분구적법이다.

고등학교 때 배운 적분

위의 그림에서 n개의 직사각형으로 무수히 많이 쪼개면 그 직사각형의 가로 길이는 a / n이 된다. 세로 길이는 f(x)의 결과 즉, y의 좌표까지 거리가 곧 직사각형의 세로 길이가 될 것이다. 이제 1번째 직사각형부터 무수히 많은 n번째 직사각형까지의 넓이의 합을 구하면 해당 영역의 넓이가 나온다는 개념이다. 이것이 적분이고 기호로 쓰면 아래와 같다.

인티그럴, 함수, dx 순서로 쓴다.

 

 

3. 미적분

지금까지 미분과 적분에 대해서 살펴봤다. 미분은 어떤 순간의 변화율, 적분은 영역을 무수히 많이 나누고 쌓는 것을 의미하는 연산이었다. 우리는 고등학교에서 미분과 적분이 서로 역연산의 관계에 있다는 사실을 알고 있는데 생각해보면 순간의 변화율과 영역을 무수히 많이 나눠서 쌓는 것이 어떤 관계도 없다... 옛날의 수학자들도 이 둘이 역연산의 관계일 것이라고 생각하지 않았으나 이것이 발견되고 미적분학의 기본정리라는 것이 만들어졌다.

• 함수 f(x)의 적분이란 f(x)를 도함수로 갖는 원시함수 F(x)를 찾는 것과 같다.
• 이 정리의 제안 및 증명으로부터 '미적분학'이 창시되었다.

그런데 사실 여기에는 약점이 존재한다. 아래와 같은 함수를 보자.

f(x) = 1 (x ∈ Q, x가 유리수)
      = 0 (x ∈ I, x가 무리수)

기존 개념의 적분으로 이 함수는 적분을 시킬 수 없다. 즉, x의 값 0~1까지에 대해서 생기는 사각형의 넓이를 구할 수 없다는 뜻이다. 이런 내용으로 앙리 르베그라는 사람이 쓴 논문에도 이와 비슷한 문제가 지적되어 있다. 그리고 르베그 적분이라는 것이 등장하는데 내용은 아래와 같다.

 

르베그 적분 → ∑{inf(Yk) x M(Xk)}

• 공역의 집합 Yk에 대응하는 정의역의 집합 Xk의 르베그 측도를 기반으로 적분을 정의
• 르베그 측도는 '집합을 덮는 덮개들 크기의 최소합'이라 생각할 수 있다.
• 르베그 적분은 고전적 적분을 포함하며, 방법적으로 일변수와 다변수의 경우를 크게 구별하지 않는 등 여러 유용함이 있다.

그래프로 그렸을 때, inf(Yk)와 M(Xk)는 각각 다음을 의미한다.

inf(Yk): Yk에 대응하는 Xk의 값으로 여기서는 하한이라고 말한다.

M(Xk): Xk의 길이를 말한다.

 

49:45부터 보면 자세하게 설명하고 있다. (그래프 그리기 너무 귀찮...)

https://www.youtube.com/watch?v=ynmHva5TcxQ&list=PL127T2Zu76FvsInWe94xPa9i_1JaRW0Dz&index=5