이상엽 집합론 정주행 5회차 - 집합의 크기

1. 집합의 분류

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이상엽 집합론 정주행 - Intro

맨 처음 인트로에서 몇 개의 집합을 주고 두 집합 중에서 어떤 것이 더 큰가? 라는 질문을 한 적이 있었다. 그리고 그에 대한 답도 언급을 한 적이 있는데 이번 시간의 강의에서 그 비밀이 자세히 풀리게 될 것이다.

 

1) 유한, 무한집합

사실 수학에서 무한이라는 개념을 다루게 된 것은 얼마 되지 않았다. 갈릴레오 갈릴레이가 긴 선분의 점의 갯수가 짧은 선분의 점의 갯수보다 결코 많다고 할 수 없다는 이야기를 제시했다. 즉, 무한의 세계는 갯수를 세서 크기를 정하는 것이 효과적이지 않다는 것이다. 그럼 어떻게 집합의 크기를 판단할 수 있을까?

 

① 동등: 두 집합 X, Y에 대해서 전단사함수 f: X → Y가 존재하면 X와 Y는 동등이다.

② 무한집합: 집합 X와 동등한 X의 진부분집합 Y가 존재하면 X는 무한집합이다.

③ 유한집합: 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라고 한다.

 

④ 정리

• 공집합은 유한집합이다.
• 무한집합을 포함하는 집합은 무한이다.
• 유한집합의 모든 부분집합은 유한이다.
• 전단사함수 f: X → Y에 대하여 X가 무한집합이면 Y도 무한집합이고 X가 유한집합이면 Y도 유한집합이다.
• 무한집합 X의 부분집합 Y가 유한집합이면 X - Y는 무한집합이다.

 

3) 가부번, 비가부번집합

이제부터 Intro에서 나왔던 문제의 답의 비밀이 밝혀지는 시간이다. Intro에 나온 자연수의 집합은 무한집합인데 "번"호를 "부"여하는 것이 "가"능한 가부번집합이다. 실수집합은 대표적인 비가부번집합으로 각 원소마다 번호를 붙이는 것이 불가능할 정도로 많은 집합임을 뜻한다. 0에서 1사이의 실수 역시 비가부번집합으로 이는 자연수 전체의 집합보다 더 큰 크기의 집합이며 실수 전체의 집합과 그 크기가 동등하다.

 

① 가부번집합: 집합 X가 N(자연수의 집합)과 동등할 때, X를 가부번집합이라고 한다.

② 가산집합: 유한집합과 가부번집합을 가산집합이라고 한다.

③ 비가부번집합: 무한집합 중에 가부번집합이 아닌 집합을 비가부번집합이라고 한다.

 

④ 정리

• 가산집합의 부분집합은 가산집합이다.
• 가부번집합들의 합집합은 가부번이다.
• N×N은 가부번집합이다.
• Q는 가부번집합이다.
• R의 부분집합 (0, 1)은 비가부번이다.
• 모든 무리수의 집합은 비가부번집합이다.
• C는 비가부번집합이다.

 

 

2. 기수

우리는 지금까지 집합의 크기에 대해서 알아보았다. 그 중에서도 무한집합의 크기에 대해서 말이다. 문제는 이 무한집합의 크기라는 것이 가부번인지 비가부번인지에 대한 것만 알았지 그것을 어떻게 표현하는지는 아직 모른다는 것이다. 이제 기수라는 개념을 통해서 무한집합의 원소의 갯수를 표현해볼 것이다.

 

1) 기수의 개념

① 기수: 집합의 크기를 나타내는 수. card A 또는 #A로 나타낸다.

• 각 집합 A에 대해서 #A는 유일하다.
• #A에 대응하는 집합 A는 항상 존재한다.
• A가 공집합이면 #A = 0이고 역도 성립한다.
• {1, 2, 3, ... , k}와 A가 동등이면 #A = k이다.
• A와 B가 동등이면 #A = #B이며 역도 성립한다.

 

② 유한기수: 유한집합의 기수

③ 초한기수: 무한집합의 기

ex) 가부번집합의 기수: #N = ℵ0(알레프 제로, 0이외의 수인 경우도 존재)​, 연속체의 기수: #R = ς(시그마)

 

④ #A < #B: A는 B의 어떤 한 부분집합과 동등이고 B는 A의 어떤 부분집합과도 동등하지 않다.

• #A ≤ #A
• A가 B의 부분집합과 동등이고 B도 A의 부분집합과 동등이면 A와 B는 동등이다. (#A = #B)
• #A ≤ #B이고 #B ≤ #C이면 #A ≤ #C이다.

 

2) 기수의 연산

① 기수 합: 서로소인 두 집합 A, B의 기수를 각각 a, b라고 할 때, a + b = #(A∪B)

② 기수 곱: 집합 A, B의 기수를 각각 a, b라고 할 때, ab = #(A×B)

③ 기수의 연산에 대해서 결합, 교환, 분배 법칙이 성립한다.

 

④ 정리

• ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
• ς + ς = ς
• ℵ0 + ς = ς
• ℵ0·ℵ0 = ℵ0
• ς·ς = ς
• ℵ0·ς = ς

 

 

4) 기수의 지수

집합 A, B에 대하여 #A = m, #B = n일 때

 

① B^A = { f | f: A → B }

② #(B^A) = n^m

 

③ 정리

• 집합 X에 대하여 #X = x일 때, #P(X) = 2^x
• 기수 x, y, z에 대하여
  • x^y·x^z = x^(y + z)
  • (x^y)^z = x^(y·z)
  • (xy)^z = x^z·y^z
  • ς = ℵ0^ℵ0 = ς^ℵ0
  • 2^ς = ℵ0^ς = ς^ς