이상엽 집합론 정주행 2회차 - 집합의 확장

1. 기본용어정리

아마 고등학교 때 배웠을 법한 내용이라 쉽게 훑고 지나갈 수 있을 것이다. 그럼 빠르게 보고 넘어가자.

 

1) 집합의 용어

• 집합: 명확한 기준으로 모인 서로 다른 대상들의 모임 (대문자 알파벳으로 표기)
• 원소: 집합을 이루는 개체 (소문자 알파벳으로 표기)
• 원소나열법: 집합의 원소를 중괄호 내에 일일히 열거해서 나타내는 방식
• 조건제시법: 집합에 있는 원소의 공통적인 성질을 제시해서 나타내는 방식
• 공집합: 원소가 0개인 집합
• 전체집합: 모든 대상들의 집합을 의미하며 엄밀히 말하면 수학적으로 존재하지 않는 개념이지만 특정 영역이나 관념적으로 전체집합을 만들기도 한다.
• 중복집합: 원소의 중복을 허용하는 집합

 

2) 집합간의 용어

• 벤 다이어그램: 서로 다른 집합들의 관계를 표현하는 그림
• 부분집합: 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이기도 할 때, A는 B의 부분집합이라고 한다.
• 진부분집합: 부분집합이지만 서로 같은 집합이 아닐 때
• 초집합: A가 B의 진부분집합일 때, B를 초집합이라고 한다.
• 합집합: 대상이 되는 모든 집합의 원소를 모은 집합
• 교집합: 대상이 되는 집합들이 공통으로 가지고 있는 원소를 모은 집합
• 여집합: 전체 집합의 원소들 중 해당 집합의 원소가 아닌 원소들을 모은 집합
• 차집합: A - B는 A의 원소이지만 B의 원소는 아닌 집합

 

 

2. 집합족

집합족: 집합을 원소로 갖는 집합 (ex: 멱집합 - 어떤 집합의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합)

첨수족(첨수집합): 첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합 (집합족을 간단하게 표현하기 위해 만듬)

 

집합족의 합집합: 집합족에 있는 모든 집합의 합집합

∪F = ∪(A ∈ F)A = A1 ∪ A2 ∪... = { x | ∃A ∈ F, x ∈ A }

 

집합족의 교집합: 집합족에 있는 모든 집합의 교집합

∩F = ∩(A ∈ F)A = A1 ∩ A2 ∩... = { x | ∀A ∈ F, x ∈ A }

 

여기서 문제, 만약 집합족 F의 첨수집합 I = ∅ 이라면 ∪F와 ∩F는 무엇일까? F의 첨수집합 I가 공집합이라는 것은 F에 어떤 집합도 존재하지 않는다는 뜻이기 때문에 ∪F = ∅이 될 것이다. 그리고 아마 ∩F도 공집합으로 보이지만 이상하게도 ∩F는 공집합이 아니라 전체집합이 나온다... 대체 왜일까?

 

∩F = U(전체집합)이라는 것은 ∩F ⊆ U와 U ⊆ ∩F가 모두 참이라는 것이고 이를 증명할 것이다. 우선 ∩F ⊆ U를 먼저 보자. 사실 이 명제는 당연한 것인데 말 그대로 전체 집합이기 때문에 ∩F로 이루어진 집합 역시 전체 집합에 포함되는 집합인 것이다. 그럼 U ⊆ ∩F가 참이라는 것을 증명해야 하는데 이는 다음 과정으로 증명할 수 있다.

 

U ⊆ ∩F ≡ ∀x ∈ U, x ∈ ∩F

              ≡ ∀i ∈ I, x ∈ Ai

              ≡ i ∈ I → x ∈ Ai

 

여기서 I는 첨수집합으로 F가 공집합이기 때문에 i ∈ I를 만족하는 i가 존재하지 않는다. 즉, i ∈ I가 거짓이라는 뜻이다. 따라서 i ∈ I → x ∈ Ai라는 명제의 가정이 거짓이 되는 것이다. 그런데 이전 글에서 가정이 거짓이 되었을 때, 그 명제는 반드시 참이 나온다는 것을 배웠다. 다시 말해서 이는 항진명제 즉, 참인 명제라는 뜻이다. 결론적으로 U ⊆ ∩F가 증명되었으니 ∩F = U라는 것이 증명된 것이다.

 

이제 집합족의 간단한 연산만보고 다음으로 넘어가자.

• 드모르간 법칙
  • (∪(A ∈ F)A)^c = ∩(A ∈ F)A^c
  • (∩(A ∈ F)A)^c = ∪(A ∈ F)A^c
• 분배법칙
  • A∩(∪(B ∈ F)B) = ∪(B ∈ F)(A ∩ B)
  • A∪(∩(B ∈ F)B) = ∩(B ∈ F)(A ∪ B)

 

 

3. 곱집합

1) 집합의 곱집합

순서쌍: (a, b) = { {a}, {a, b} }

곱집합: A × B = {(x, y)| x ∈ A ∧ y ∈ B}

 

예시: A = { 1, 2 }, B = { 3, 4 }

A × B = { (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) }

 

곱집합의 연산법칙

① A × ∅ = ∅ × A = ∅

② A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

③ A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

④ A × (B - C) = (A × B) - (A × C)

 

2) 집합족의 곱집합

임의의 집합족 F가 첨수집합 I에 의해서 첨수화 된 첨수족 { Ai | i ∈ I }의 곱집합 ∏Ai은

∏Ai = A1 × A2 ×... = { (ai)(i ∈ I) | ∀i ∈ I, ai ∈ Ai }

 

예시: I = { 1, 2 }, F = { A1{1, 2}, A2{3, 4} }

∏F = A1 × A2 = { {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} } = { (a1, a2) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 }