이상엽 집합론 정주행 4회차 - 함수

1. 함수

함수는 수학에서 뺄래야 뺄 수가 없는 존재이다. 학교에 다니면서 수학을 배우면서 많이 접했을 것이다. 우리가 배울 함수도 학교에서 배웠던 함수와 거의 비슷한 부류의 함수이다. 다만 혹시라도 아래에 있는 함수의 정의를 보고 이런 생각이 든다면 아래에 제시한 링크를 읽어보고 오면 좋겠다.

• "아니, 까짓 거 함수에 결과값 여러 개 나오면 안돼? 그래프로 얼마든지 그릴 수 있을 것 같은데?"
• "아니, 까짓 거 특정 부분은 결과 정의 안되면 안돼? 왜 그래야 하는데?

 

https://dafher-diary.tistory.com/37

이상엽 기초수학 정주행 3회차 - 함수란 무엇인가?

 

1) 함수의 정의

① 함수: 다음을 만족하는 X에서 Y로의 관계 f: X → Y

• ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, s.t. (x, y) ∈ f
• (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f => y1 = y2
• (x, y) ∈ f는 y = f(x)로도 쓴다.

 

함수 f: X → Y에서 y = f(x)일 때,

• y를 f에 의한 x의 상
• x를 f에 의한 y의 원상
• X를 f의 정의역 Dom(f)
• Y를 f의 공역
• { f(x) | x ∈ X } = f(X)를 f의 치역 Rng(f)

라 한다.

 

함수 f: X → Y에 대하여 A ⊂ X일 때,

② f|A는 X를 A로 축소한 함수 { (x, y) ∈ f | x ∈ A }

③ g = f|A 이면 f는 g의 A에서의 확대함수

 

쉽게 말하하면 정의역 X를 X의 부분집합 A로 축소시킨 것을 말한다.

 

2) 함수의 성질

함수 f: X → Y에 대하여

① 전사: Rng(f) = Y

② 단사: x1 ≠ x2 ∈ X => f(x1) ≠ f(x2)

③ 전단사: 전사이고 단사인 함수 일대일대응

 

3) 여러가지 함수

① 고등학교 교육과정 내

• 항등함수: ∀x ∈ X, Ix(x) = x
• 상수함수: ∃y ∈ Y, f(X) = y
• 역함수: 전단사인 f: X → Y에 대해 f^(-1): Y → X
• 합성함수: 두 함수 f: X → Y, g: Y → Z외 ∀x ∈ X, (g · f)(x) = g(f(x))
• 함성함수의 성질
  • f, g가 모두 단사면 g · f는 단사이다. 역은 성립하지 않는다.
  • f, g가 모두 전사면 g · f는 전사이다. 역은 성립하지 않는다.

 

② 고등학교 교육과정 외

집합 A(≠ ∅) 가 A ⊂ X일 때

• 포함함수: 항등함수의 축소함수 - ∀x ∈ A, i: A → X가 i(x) = x(∈ A) = Ix|A
• 특성함수: 특정 원소가 집합에 포함되어 있냐 없냐를 따지는 함수 - ∀x ∈ X, χA: X → { 0, 1 }가 χA(x) = {1: x ∈ A, 0: x ∉ A} (단, χA의 χ는 정의역 X가 아니라 그리스 기호 chi(카이)이다.)
• 선택함수: 집합 X(≠ ∅)의 부분집합들의 집합족을 { Ai } 이라할 때, 모든 i ∈ I에 대하여 f(Ai) ∈ Ai로 정의되는 함수 f: {Ai} → X

선택함수를 다시 알기 쉽게 정리하면 선택함수의 정의역은 모두 집합으로 이루어져 있는 집합족이다. 이 때, 정의역에 있는 집합들 중 하나의 집합을 임의로 뽑아서 그것을 A라고 하자. A라는 집합은 하나의 공역 b와 대응된다. 여기서 b는 A의 원소 중 하나여야 한다는 뜻이다.

 

4) 여러가지 정리

① 함수 f 에 대하여 역함수 f^(-1) 가 존재하면 f는 전단사이다.

② 합성함수 g · f 가 단사이면 f는 단사이고, g · f 가 전사이면 g는 전사이다.

③ 정수집합 Z와 자연수집 N사이에는 일대일대응이 존재한다.

 

 

2. 집합의 함수

우리가 지금까지 다룬 함수는 정의역에 있는 하나의 원소가 공역에 있는 하나의 원소와 대응하는 관계에 대해서 다뤘었다. 이제부터 다룰 함수는 그와 조금 다르게 정의역의 부분집합이 함수의 입력으로 들어가게 될 것이다. 결과 역시 마찬가지로 집합이 나온다.

 

1) 개념과 정의

함수 f: X → Y에서 A ⊂ X이고 B ⊂ Y일 때, 다음이 성립한다.

 

① f에 대한 A의 상: f(A) = { f(x) ∈ Y | x ∈ A }

② f에 대한 B의 역상: f^(-1)(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B } ⊂ X

 

2) 여러가지 정리

함수 f: X → Y에서 A ⊂ X이고 B ⊂ Y일 때, 다음이 성립한다.

① f(∅) = ∅

② ∀x ∈ X, f({x}) = {f(x)}

③ f^(-1)(f(A)) = A ↔ f는 단사

④ f(f^(-1)(B)) = B ↔ f는 전사

 

함수 f: X → Y에 대하여 {Aα| α ∈ I}를 X의 부분집합이라 하면 다음이 성립한다.

④ f(∪(α∈I)Aα) = ∪(α∈I)f(Aα)

⑤ f(∩(α∈I)Aα) ⊆ ∩(α∈I)f(Aα)

⑥ f가 단사이면 f(∩(α∈I)Aα) = ∩(α∈I)f(Aα)