이상엽 집합론 정주행 8회차 - 선택공리

1. 선택공리

사실 선택공리는 이 명칭이 쓰이기 훨씬 전부터 수학자들이 인지하고 있던 내용이다. 즉, 선택공리라는 것이 체계적으로 완성되기 전부터 당연한 것으로 인지하고 있었다는 뜻이다. 그러다가 선택공리가 체계화된 것은 정렬원리라는 것을 증명하기 위해서였다. 정렬원리라는 것은 간단히 말해서 모든 집합은 적절한 순서관계를 부여하고 최소원소만 만들어주면 정렬집합으로 만들 수 있다는 내용이다. 칸토어는 이것이 당연하게 참이라고 말했지만 대부분의 수학자들은 이것을 부정했다고 한다. 그러다가 체르멜로가 선택공리를 통해서 이것을 증명하게 된 것이다. 그럼 선택공리에 대해 자세히 알아보자.

 

1) 선택함수

선택공리를 다루기 전에 먼저 선택함수를 알아야 한다. 아래의 링크에서 다룬 적이 있는데 아마 기억이 안날 것이다. 고등학교 과정 외의 함수에서 잠깐 언급하고 넘어갔었다. (사실 나도 기억안나서 다시 보고 왔다...)

https://dafher-diary.tistory.com/46

이상엽 집합론 정주행 4회차 - 함수

 

선택함수란 공집합이 아닌 집합 X의 부분집합들의 집합족을 {Ai}라고 할 때, ∀i ∈ I, f(Ai) ∈ Ai인 f: {Ai} → X라는 내용을 볼 수 있을 것이다.

 

자세한 예시는 아래의 링크에서 45:16를 참고하도록 하자.

https://www.youtube.com/watch?v=pckTu8gLVZo&list=PL127T2Zu76FveA8TGXZU-PSSt7GTMhKp6&index=5 

 

2) 선택공리

이전에 ZFC공리계에 대해서 다룬 적이 있었다. 아래의 링크를 보면 그것을 정리한 것을 볼 수 있다. ZFC공리계는 10개의 공리와 공리꼴로 이루어진 공리계로 맨 마지막의 C가 선택공리를 의미한다.

https://dafher-diary.tistory.com/48

이상엽 집합론 정주행 6회차 - 연속체 가설

 

선택공리란 "공집합이 아닌 임의의 집합에 대한 선택함수가 존재한다." 는 명제이다. 공집합을 원소로 갖지 않는 서로소인 집합족의 원소들에서 하나씩 원소를 선택하여 갖는 집합이 존재한다고도 해석이 가능하다. 무슨 뜻인지 보기 위해 아래의 예시를 보도록 하자. 사실 말이 어려워서 그렇지 굉장히 당연하고 쉬운 내용이다.

왼쪽의 큰 사각형을 집합 A, 오른쪽에 있는 것을 집합 B라고 하자. 그리고 집합 A안에 있는 임의의 작은 사각형들이 보이는가? 저것들이 집합 A의 부분집합들이고 전부 서로소인 상태이다. 선택공리라는 것은 저 서로소인 부분집합들에서 원소를 하나씩 가져와서 또 다른 집합을 만들 수 있다는 뜻이다. 놀랍게도 이게 끝이다...

 

하지만 너무나 당연해 보이는 명제였음에도 이것을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 것은 결코 쉽지 않았다고 한다. 후에 밝혀진 바에 따르면 기존에 ZFC공리계가 존재하기 이전에 ZF까지만 존재했는데 선택공리가 앞서 언급한 9개의 공리로 이루어진 ZF공리계와 독립적이라는 것이 증명되면서 이것까지 추가되어 ZFC공리계로 완성된 것이다.

 

추후에 이 증명을 통해서 '아니, 저게 말이 돼?' 라고 생각할 법한 정렬원리가 참이라는 것이 증명되었고 이 뿐만 아니라 다른 부분에도 지대한 영향을 미쳤다고 한다. 선택공리와 동치인 명제들이 나오면서 그것들을 통해 또 다른 무언가가 밝혀지는 효과가 나온 것이다. 이제 선택공리와 동치, 함의인 명제들을 알아보자.

 

 

2. 선택공리와 동치 및 함의인 명제

① 극대원리: 임의의 부분순서집합은 극대인 쇄를 갖는다.

② 조른의 원리: 모든 쇄가 위로 유계인 부분순서집합은 극대원소를 갖는다.

 

참고로 위로 유계라고 하는 부분은 상계가 존재한다는 뜻이다. 강의에서는 선택공리를 통한 위의 두 명제를 증명하지는 않았다. 다만 두 명제가 이해하고 나면 너무 자명해서 나도 딱히 증명하는 과정은 보지 않으려고 한다. 다만 아래의 명제는 절대 자명해보이지 않는 명제이지만 선택공리로 인해 참인 것이 드러난 대표적인 명제이다.

 

③ 정렬원리: 모든 집합은 정렬가능하다. 즉, 모든 집합은 적당한 순서관계를 부여하여 정렬집합으로 만들 수 있다.

 

참고로 정수와 유리수의 집합은 위의 명제처럼 실제로 수기로 정렬을 해나갈 수 있다. 하지만 지금도 실수의 집합은 수기로 정렬하는 방법이 나온 것이 없다고 한다. 그럼에도 불구하고 위의 명제는 선택공리로 참인 명제이다.

 

④ 함의인 명제

• 라그랑주 원리
• 타르스키 원리
• 티호노프 원리
• 타이히뮐러-투키 원리
• 임의의 두 기수의 비교가능원리
• 모든 벡터공간의 기저존재원리

이것 외에도 정말 많은 것들이 존재한다. 중요한 것은 위에 있는 것들을 외우는 것이 아니라 선택공리를 공리로 채택한 이유와 선택공리가 무너지면 얼마나 많은 이론적인 내용들이 무너져야 하는지를 이해하는 것이다. 이는 선택공리에만 해당되는 것이 아니라 다른 공리에도 해당이 되는 내용으로 각 공리들의 중요성을 깨닫게 하기 위한 것이 이 챕터의 목적이라고 봐도 무방하다.